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--- 分析与偏微分方程讨论班(2021秋季第8讲)

题目: 二阶临界椭圆方程的无穷多解

报告人: 韩丕功 研究员 （中国科学院数学与系统科学研究院）

时间：2021-11-29 14：30-15：30 (周一下午)

地点: 腾讯会议 ID：801-430-809

腾讯会议链接：https://meeting.tencent.com/dm/fRximQ365PkA

摘要: 本报告主要介绍带有临界增长指数的二阶椭圆方程的齐次第一边值问题. 即：Brezis-Nirenberg问题的无穷多解存在性. 这类问题的主要困难在于: 由于研究的方程具有临界增长, 对应的能量泛函不满足Palais-Smale紧性条件, 标准的临界点理论如: 亏格理论, 喷泉定理及其对偶定理不再适用. 基本想法是首先对临界问题进行扰动, 得到次临界增长的方程, 利用标准的临界点理论, 可以获得无穷多个正能量近似解; 利用这些近似解可以构造出原问题相应Palais-Smale 序列, 然后在该Palais-Smale 序列中的每个集中点附近建立局部的Pohozaev恒等式. 如果不强收敛, 则必有集中点存在, 通过仔细分析和一系列的精细估计, 利用已建立的局部Pohozaev恒等式可以得到矛盾, 从而排除集中点存在的可能性, 进而推出这些近似解有强收敛极限, 通过这样一个极限过程, 可以得到原问题有无穷多个正能量解.

报告人简介: 韩丕功，中科院数学与系统科学研究院研究员，博士生导师，2004年7月毕业于中科院数学与系统科学研究院并留院工作至今。目前主要从事非线性偏微分方程和流体力学问题的研究，特别是利用Fourier分析和半群理论研究不可压缩Navier-Stokes方程解的大时间行为。在半空间情形下，建立了Navier-Stokes方程的解在端点空间范数意义下的大时间渐近行为；在外区域情形下，当净外力在边界上可以不为零的情况下，给出了不可压缩Navier-Stokes方程解的大时间衰减速率。研究成果入选了2017年度《中国科学院年鉴》，在科学出版社出版专著三部。到目前为止，已主持多项国家自然科学基金面上项目，做为主要成员参与国家自然科学基金重点项目。已在国际重要期刊发表近六十篇学术论文，例如：Adv. Math、ARMA、JFA、CMP、Calc.Var. & PDE、JDE等。

邀请人：戴蔚

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